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5.2.11 群的闭包（Closures）-GAP 在群论研究中的应用：群论计算及其可视化
5.2.11 群的闭包（Closures）
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相关的命令总结如下：
GAP 在群论研究中的应用：群论计算及其可视化
马治
图书目录
序言
1.1 GAP软件的下载与安装
1.1.2 GAP可执行软件的安装
1.1.3 GAP软件压缩包的安装
1.1.4 GAP软件在 Intel Itanium （IA64） 下窗口崩溃的问题
1.1.5 GAP软件与Sagemath
1.1.6 GAP软件在Sagemath在线系统中的使用
1.1.7 GAP软件载入文件运行模式
1.1.8 GAP软件所容载的文件类型
1.2 GAP软件包含的文件包（Package）
2.1 安装GAP的包
2.2 载入GAP的包
2.3 关于GAP包操作的相关函数
2.4 晶体学Cryst包的使用（Afne Crystallographic Groups）
2.4.2 点群（Point Group）
2.4.3 晶格平移（Translation Lattice）
2.4.4 特殊方法与判断（Special Methods）
2.4.5 最大子群（Maximal Subgroups）
2.4.6 给定点群的空间群（Space Groups with a Given Point Group）
2.4.7 Wyckoff位置（Wyckoff Positions）
2.4.8 正规化子（Normalizers）
2.4.9 色群（Color Groups）
2.4.10 有色仿射晶体群（Colored AffineCrystGroups）
2.4.11 晶体空间群国际表（International Tables）①
2.5 GAP绘图工具——GraphViz
2.5.2 GraphViz的下载与安装
2.5.3 GraphViz的代码编辑与运行
2.5.4 GraphViz的绘图保存
2.5.5 GraphViz的其他运行方式
2.5.6 GraphViz绘图三要素
3.1 Python语言的基本数据结构
3.1.2 Python常用函数lambda、map、filter、zip、reduce等
3.1.3 GAP中的list、set、record、domain与性质探测
3.2 GAP语言的基本语法
3.2.2 GAP命令书写的基本要求
3.2.3 基本运算符
3.2.4 GAP中的注释添加
3.3 常用函数与函数的定义
3.3.2 最大公约数与最小公倍数
3.3.3 屏幕打印函数Print以及写入外部文件PrintTo
3.3.4 简单的自定义函数
3.3.5 是否为函数的判断
3.3.6 是否为操作的判断
3.3.7 设置对象名称（SetNameObject）
3.3.8 对象的格式化输出（Display）
3.3.9 排列与组合的枚举
3.4 GAP中的关键字与标识符
3.4.2 GAP中的标识符
3.4.3 GAP中的变量与相关检查
3.5 函数与过程的调用
3.5.2 函数的调用
3.5.3 条件表达式或表达式的运算
3.5.4 过程的调用
3.6 映射
3.6.2 映射的属性（Properties and Attributes of （General） Mappings）
3.6.3 映射下的像（Images under Mappings）
3.6.4 映射下的初像（Preimages under Mappings）
3.6.5 同态（Magma Homomorphisms）
3.6.6 参考乘法的映射（Mappings that Respect Multiplication）
3.6.7 参考加法的映射（Mappings that Respect Addition）
3.6.8 线性映射（Linear Mappings）
3.6.9 环同态（Ring Homomorphisms）
3.6.10 宏观映射（General Mappings）
3.6.11 宏观映射的技术材料（Technical Matters Concerning General Mappings）
3.7 关系
3.7.2 二元关系的属性（Properties and Attributes of Binary Relations）
3.7.3 对点的二元关系（Binary Relations on Points）
3.7.4 封闭操作与其他构建子（Closure Operations and Other Constructors）
3.7.5 等价关系（Equivalence Relations）
3.7.6 等价关系操作属性（Attributes and Operations on Equivalence Relations）
3.7.7 等价类（Equivalence Classes）
4.1 if循环结构
4.2 while循环控制结构
4.3 repeat...until...循环结构控制
4.4 for 循环结构控制
4.5 break中断循环
4.6 continue结构控制
4.7 function结构控制
4.8 return返回控制
5.1 群的创建与判断
5.1.2 群的创建
5.1.3 群的种类和资料库（Libraries）
5.1.4 典型群（Classical Group）
5.1.5 典型群的共轭类
5.1.6 置换群、轮换、对换、共轭元素、传递置换群
5.1.7 转动群SO（3）、二维特殊酉群SU（2）、小群（Small Group）
5.1.8 有限群、无限群、有限完美群（Finite Perfect Groups）
5.1.9 基本置换群（Primitive Permutation Groups）
5.1.10 不可约可解矩阵群（Irreducible Solvable Matrix Groups）
5.1.11 群的判断与信息
5.1.12 群的性质
5.1.13 特殊生成元、生成集
5.2 子群、闭包与结构描述
5.2.2 指数（Index）
5.2.3 子群的判断、共轭子群
5.2.4 特殊子群与参数化子群
5.2.5 Sylow子群与Hall子群
5.2.6 子群的共轭类、最大子群、正规子群（不变子群）
5.2.7 子群级数（Subgroup Series）
5.2.8 子群格（Subgroup Lattice）
5.2.9 子群格计算的特殊方法
5.2.10 质数幂（Prime Powers）表征的子群
5.2.11 群的闭包（Closures）
5.2.12 群元的表达、分解
5.2.13 群的结构描述（群的类型）
5.3 群的陪集（Coset）、商群
5.3.2 群的右陪集及相关操作
5.3.3 群的陪集分解（Decomposition）
5.3.4 断面（Transversal）
5.3.5 双陪集的相关操作
5.3.6 商群（Factor Group）
5.3.7 舒尔覆盖、乘子、方法测试
5.3.8 1-上同调
5.4 群之积
5.4.2 群的半直积
5.4.3 子直积（Subdirect Products）
5.4.4 环积（Wreath Products）
5.4.5 自由积（Free Products）
5.4.6 群积的嵌入与映射（Embeddings and Projections）
5.5 群的同态（Homomorphisms）
5.5.2 群同态的操作（Operations）
5.5.3 好的同态（Nice Homomorphisms）
5.5.4 群的自同构（Group Automorphisms）
5.5.5 自同构的群（Groups of Automorphisms）
5.5.6 群自同构的计算（Calculations）
5.5.7 寻找同态（Searching for Homomorphisms）
5.5.8 群同态的表示（Representations for Homomorphisms）
6.1 基本作用（Basic Actions）
6.1.2 基本作用（Basic Actions）
6.2 群表示、忠实表示、等价表示、可约表示、幺正表示、正则表示、舒尔引理①
6.3 群函数、正交性定理、完备性定理、群表示的特征标理论
6.4 群的轨道（Orbits）
6.5 稳定子（Stabilizers）
6.6 描述像的元（Elements with Prescribed Images）
6.7 作用的交换像（Permutation Image of an Action）
6.8 群自身的作用（Action of a Group on Itself）
6.9 交换诱导的元与循环（Permutation Induced by Elements and Cycles）
6.10 作用测试与阻截系统（Action Tests and Block Systems）
6.11 外部集合（External Sets）
7.1 排列（Permutation）
7.1.2 排列的比较（Comparison of Permutations）
7.1.3 排列的移动点（Moved Points of Permutations）
7.1.4 符号与循环结构（Sign and Cycle Structure）
7.1.5 创建排列（Creating Permutations）
7.2 置换群/排列群（Permutation Groups）
7.2.2 排列表示（Permutation Representation）
7.2.3 对称与交错群（Symmetric and Alternating Groups）
7.2.4 基本群（Primitive Group）
7.3 稳定子链（Stabilizer Chains）
7.3.2 稳定子链的构建（Construction of Stabilizer Chains）
7.3.3 稳定子链的操作（Operations for Stabilizer Chains）
7.3.4 修改与创建稳定子链的一些方法（Low Level Routines）
7.3.5 大度排列群（Backtrack）
7.3.6 大度排列群（Large Degree Permutation Groups）
7.4 组合数学（Combinatorics）
7.4.2 组合、重排与元组（Combinations，Arrangements and Tuples）
7.4.3 斐波那契数与卢卡斯序列（Fibonacci and Lucas Sequences）
8.1 矩阵
8.1.2 基本性质（Properties and Attributes of Matrices）
8.1.3 矩阵构建（Matrix Constructions）
8.1.4 随机矩阵（Random Matrices）
8.1.5 线性方程的矩阵表示（Matrices Representing Linear Equations）
8.1.6 本征矢与本征值（Eigenvectors and Eigenvalues）
8.1.7 初等因子（Elementary Divisors）
8.1.8 阶梯矩阵（Echelonized Matrices）
8.1.9 作为行空间基的矩阵（Matrices as Basis of a Row Space）
8.1.10 三角矩阵（Triangular Matrices）
8.1.11 线性映射的矩阵（Matrices as Linear Mappings）
8.1.12 有限域上的矩阵（Matrices over Finite Fields）
8.1.13 逆矩阵与模（Inverse and Nullspace）
8.1.14 分块矩阵（Block Matrices）
8.1.15 矩阵之迹（Permanent of a Matrix）
8.2 矩阵群判断与属性
8.2.2 属性
8.3 基本作用、GL与SL
8.3.2 GL与 SL
8.4 不变式（Invariant Forms）
8.4.2 特殊情形（Matrix Groups in Characteristic 0）
8.5 左操作与右操作（Acting OnRight and OnLeft）
9.1 多循环群
9.1.2 基本操作
9.2 特殊积与子群
9.2.2 子群（Subgroups of Polycyclic Groups-Induced Pcgs）
9.2.3 子群（Subgroups of Polycyclic Groups-Canonical Pcgs）
9.3 商群（Factor Groups of Polycyclic Groups）
9.3.2 自表示的商群（in their Own Representation）
9.4 Pcgs与正则级数
9.5 求和与交集及特殊Pcgs
9.5.2 特殊Pcgs（Special Pcgs）
9.6 子商群的操作与轨道稳定子方法
9.6.2 轨道稳定子方法（Orbit Stabilizer Methods）
9.6.3 可解群中的共轭类（Conjugacy Classes in Solvable Groups）
9.7 多循环群表示（Pc Groups）
9.8 构建与计算Pc群（ Constructing and Computing Pc Groups）
9.8.2 计算Pc群（Computing Pc Groups）
9.9 2-上同调与扩展（2-Cohomology and Extensions）
9.10 Pc的表示与随机测试
9.10.2 随机测试（Random Isomorphism Testing）
10.1 有限表示群（Fp Groups）
10.1.2 有限表示群元的比较
10.2 自由群中的初像与有限表示群操作
10.2.2 有限表示群的操作（Operations for Finitely Presented Groups）
10.3 陪集表和陪集枚举（Coset Tables and Coset Enumeration）
10.4 陪集表的标准化与子群陪集表
10.4.2 子群的陪集表（Coset tables for subgroups in the whole group）
10.5 陪集表重写与低指数子群
10.5.2 低指数子群（Low Index Subgroups）
10.6 将群转化为有限表示群与子群表示
10.6.2 子群表示（Presentations for Subgroups）
10.7 初像与求商方法
10.7.2 求商方法（Quotient Methods）
10.8 子群的交换不变性与有限表示群的有限性测试
10.8.2 有限表示群的有限性测试（Testing Finiteness）
11.1 表示的创建与子群的表示
11.1.2 子群的表示（Subgroup Presentations）
11.2 表示关系、输出表示、表示改变
11.2.2 表示输出（Printing Presentations）
11.2.3 表示的改变（Changing Presentations）
11.3 Tietze转换（变换）
11.3.2 初级Tietze转换（Elementary Transformations）
11.3.3 Tietze转换引入新生成元（Introduce new Generators）
11.3.4 依Tietze转换跟踪生成元像（Tracing generator images）
11.3.5 Tietze可选项（ Tietze Options）
11.4 解码的三个过程（The Decoding Tree Procedure）
12.1 李代数的对象与构建李代数
12.1.1 李代数的对象（Lie Objects）
12.1.2 构建李代数（Constructing Lie algebras）
12.2 子代数、理想、中心、直和、半直和、同构、同态
12.3 理想的级数（Series of Ideals）
12.4 李代数的性质（Properties of a Lie Algebra）
12.5 半纯李代数、半单李代数、内导子、嘉当判据、卡塞米尔算子
12.6 半单李代数与Weyl群（Semisimple Lie Algebras and Weyl Groups）
12.7 受限李代数（Restricted Lie algebras）
12.8 李代数表示、李群表示定理、半单李代数表示、联合表示
12.9 规整可展李代数（Universal Enveloping Algebras）
12.10 有限表示李代数
12.11 模（Modules）
12.11.2 半单李代数模（Modules over Semisimple Lie Algebras）
12.12 UEA中的阵列（Admissible Lattices in UEA）
12.13 张量积与对称指数（Tensor Products and Exterior and Symmetric Powers）
13.1 不确定数/未定元（Indeterminates）
13.2 有理函数
13.2.2 有理函数的属性（Properties and Attributes）
13.3 单变量多项式
13.3.2 在一个不定数中的单变量多项式
13.4 多变量多项式
13.5 最小多项式与割圆多项式
13.5.2 割圆多项式（Cyclotomic Polynomials）
13.6 多项式的因式分解
13.6.2 有理数上的多项式（Polynomials over the Rationals）
13.6.3 有理数多项式的因式分解（Factorization over the Rationals）
13.7 劳伦多项式（Laurent Polynomials）
13.8 单变量有理函数
13.8.2 多项式环与函数域（Polynomial Rings and Function Fields）
13.9 单变量多项式环
13.9.2 单项式序（Monomial Orderings）
13.10 Groebner基（Groebner Bases）
13.11 有理函数族（Rational Function Families）
13.12 有理函数的属性
13.12.2 有理函数的创建（Creation of Rational Functions）
13.13 表示（Arithmetic for External Representations of Polynomials）
13.14 测试（Cancellation Tests for Rational Functions）
14.1 群论的可视化软件介绍
14.2 Group Explorer的下载与安装
14.3 图谱信息结构框架
14.4 图谱举例
14.4.2 Z20的图谱解析
14.4.3 Z2×Z8的图谱解析
14.4.4 Z2×Z4×Z2的图谱解析
14.4.5 Z2×Z2×Z2×Z3的图谱解析
14.4.6 Z3与Z4的半直积图谱解析
14.5 Asymptote的下载与安装
14.6 Asymptote可以绘制图的类型
14.7 Asymptote的基本绘图命令
14.8 Asymptote的运算符
14.9 Asymptote的两种运行方式
14.10 Asymptote中常用的箭头与线型
14.11 Asymptote中常用的Marker
14.12 Asymptote中常用的颜色
14.13 Asymptote绘制晶体子母群关系图的例子
15.1 空间群可视化软件SpaceGroupViz安装
15.2 SpaceGroupViz中查看空间对称群
15.3 SpaceGroupViz中背景设置与动画演示
15.4 空间群三维对称图的保存与第230号空间群
参考文献
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